Exercice 19, § 2

Soient K un corps ordonné maximal, $f$ un polynôme non nul de K[T]. Afin que, pour tout polynôme $g \in K[T]$, le nombre de racines du polynôme $fg + g'$, comptées avec leur ordre de multiplicité, qui n’appartiennent pas à K, soit au plus égal au nombre des racines de $g$, comptées avec leur ordre de multiplicité, qui n’appartiennent pas à K, il faut et il suffit que $f(T) = a - bT$ avec $b \geq 0$ dans K. (Pour voir que la condition est suffisante, utiliser l’exerc. 12 ; pour montrer qu’elle est nécessaire, prendre $g = 1$ et $g = f$.)