Exercice 20, § 2

Algèbre, VI, p. 39

Soient K un corps ordonné maximal,

f(T) = a_0 + \binom{n}{1} a_1 T + \binom{n}{2} a_2 T^2 + \cdots + a_n T^n

un polynôme de K[T]. Quels que soient les entiers $p, q$ tels que $0 \leq p < p + q \leq n$ , le nombre de racines du polynôme

a_p + \binom{q}{1} a_{p+1} T + \binom{q}{2} a_{p+2} T^2 + \cdots + a_{p+q} T^q

comptées avec leur ordre de multiplicité, qui n’appartiennent pas à K, est au plus égal au nombre des racines de $f$ , comptées avec leur ordre de multiplicité, qui n’appartiennent pas à K (utiliser l’exerc. 12).

En déduire que si $b_1, b_2, \ldots, b_n$ sont $n$ éléments distincts et $> 0$ de K, et si l’on pose

(T + b_1) \ldots (T + b_n) = T^n + \binom{n}{1} m_1 T^{n-1} + \cdots + m_n

on a

m_k^{1/k} > m_{k+1}^{1/(k+1)} \quad \text{pour} \quad 1 \leq k \leq n - 1 .

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.