Bài tập 20, § 2

Đại số, VI, p. 42

Cho K là một trường có thứ tự cực đại và

f(T) = a_0 + \binom{n}{1} a_1 T + \binom{n}{2} a_2 T^2 + \cdots + a_n T^n

một đa thức trong

K[T]

. Với mọi số nguyên

p, q

sao cho

0 \leq p < p + q \leq n

, số nghiệm của đa thức

a_p + \binom{q}{1} a_{p+1} T + \binom{q}{2} a_{p-2} T^2 + \cdots + a_{p+q} T^q

được đếm với bội số, không thuộc K, nhiều nhất bằng số nghiệm của

f

, được đếm với bội số, không thuộc K (dùng Bài tập 12). Suy ra rằng nếu

b_1, \ldots, b_n

là

n

phần tử phân biệt

> 0

trong K, và nếu

(T + b_1) \cdots (T + b_n) = T^n + \binom{n}{1} m_1 T^{n-1} + \cdots + m_n

thì

m_k^{1/k} > m_{k+1}^{1/(k+1)} \quad \text{với} \quad 1 \leq k \leq n-1 .

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.