Exercice 22, § 2

Algèbre, VI, p. 40

Soient $K$ un corps ordonné maximal,

f(T) = a_0 + a_1 T + \cdots + a_n T^n

un polynôme de $K[T]$ , tel que $a_0 \neq 0$ , $a_n \neq 0$ et

a_p = a_{p+1} = \cdots = a_{p+2m-1} = 0 \quad (1 \leq p < p + 2m - 1 < n)

Montrer que $f$ a au plus $n - 2m$ racines comptées avec leur ordre de multiplicité dans $K$ (appliquer la règle de Descartes).

En déduire que si $g(T) = 1 + c_1 T + \cdots + c_n T^n$ a toutes ses racines dans $K$ , et si $h(T) = 1 + b_1 T + \cdots + b_{2m} T^{2m}$ est le polynôme formé des $2m + 1$ premiers termes de la série formelle $1/g$ dans $K[[T]]$ , $h$ n’a aucune racine dans $K$ .

Solution

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