Exercice 26, § 2

a) Si $K$ est un corps ordonné archimédien (VI, p. 37, exerc. 11, a)), $x$ et $y$ deux éléments

EXERCICES

de K tels que $x < y$, montrer qu’il existe $r \in \mathbf{Q}$ tel que $x < r < y$. \* En déduire qu’il n’existe qu’un sous-corps ordonné de $\mathbf{R}$ isomorphe à $K$. \* b) Dans le corps $K = \mathbf{Q}(X)$ on considère la structure d’ordre pour laquelle $X > 0$ est infiniment grand par rapport à $\mathbf{Q}$ (exerc. 24). Montrer que $K$ est comparable à son sous-corps $\mathbf{Q}(X^2)$, et donner un exemple de deux éléments $x, y$ de $K$ tels que $x < y$ et qu’il n’existe aucun élément de $\mathbf{Q}(X^2)$ entre $x$ et $y$. c) Soit $K$ le corps ordonné défini en b) ; montrer que le polynôme

sur $K$ est irréductible, qu’il admet des racines dans toute extension ordonnée maximale de $K$, et que $f(a) > 0$ pour tout $a \in K$.