Bài tập 26, § 2

a) Nếu K là một trường có thứ tự Archimede (VI, p. 40, Ex. 11, a)), và x và y là hai phần tử của K với $x < y$, chứng minh rằng tồn tại $r \in \mathbf{Q}$ sao cho $x < r < y$. \* Suy ra rằng chỉ có duy nhất một trường con có thứ tự của R đẳng cấu với K. ■ b) Xét thứ tự của trường $K = \mathbf{Q}(X)$ trong đó X là vô hạn lớn đối với Q (Ex. 24). Chứng minh rằng K so sánh được với trường con $\mathbf{Q}(X^2)$, và cho một ví dụ về hai phần tử x, y của K sao cho $x < y$ và không có phần tử nào của $\mathbf{Q}(X^2)$ nằm giữa x và y. c) Cho K là trường có thứ tự được xác định trong b); chứng minh rằng đa thức

trên K là bất khả quy, rằng nó có các nghiệm trong mọi mở rộng có thứ tự cực đại của K, và rằng $f(a) > 0$ với mọi $a \in K$.