Exercice 27, § 2

Soient $K$ un corps ordonné, $E$ une extension pure de $K$, $(X_i)_{i \in I}$ une base pure de $E$ (V, p. 102). a) \* Si $K$ est archimédien, pour qu’il existe sur $E$ une structure d’extension ordonnée de $K$ telle que $E$ soit comparable à $K$, il faut et il suffit que la puissance de $I$ soit au plus égale à celle d’une base de transcendance de $\mathbf{R}$ sur $K$ ($K$ étant considéré comme sous-corps de $\mathbf{R}$, cf. exerc. 26, a)) ; l’ensemble de ces structures est alors équipotent à l’ensemble des applications injectives $f$ de $I$ dans $\mathbf{R}$, telles que $f(I)$ soit un système algébriquement libre sur $K$). \* b) Si $K$ n’est pas archimédien, il existe toujours sur $E$ (au moins) une structure d’extension ordonnée de $K$ telle que $E$ soit comparable à $K$ (lorsque $I$ a un seul élément, utiliser l’exerc. 24 en remarquant que $\mathbf{Q}$ n’a pas de borne supérieure dans $K$; passer au cas général par le th. de Zorn).