Bài tập 27, § 2

Cho K là một trường có thứ tự, cho E là một mở rộng siêu việt thuần túy của K và cho $(X_i)_{i \in I}$ là một cơ sở siêu việt của E (V, p. 109). a) \* Nếu K là Archimedean thì E có một cấu trúc của một mở rộng có thứ tự của K trong đó E so sánh được với K khi và chỉ khi lực lượng của I không lớn hơn lực lượng của một cơ sở siêu việt của R trên K (trong đó K được xem như một trường con có thứ tự của R, cf. Ex. 26, a)); khi đó tập hợp các cấu trúc như vậy song ánh với tập hợp các ánh xạ đơn ánh từ I vào R sao cho $f(1)$ độc lập đại số trên K. ■

b) Nếu K không Archimedean thì luôn tồn tại (ít nhất) một cấu trúc trên E của một mở rộng có thứ tự của K sao cho E so sánh được với K (khi I chỉ chứa một phần tử, dùng Ex. 24 và lưu ý rằng Q không có supremum trong K; chuyển sang trường hợp tổng quát bằng Bổ đề Zorn).