Exercice 28, § 2

a) Soient $K$ un sous-corps de $\mathbf{R}$, $\theta$ un nombre réel algébrique sur $K$. Montrer que sur $K(\theta)$ le nombre de structures d’extension ordonnée de $K$ est égal au nombre des conjugués réels de $\theta$ (utiliser les exerc. 14, a) (VI, p. 38) et 26, a)). b) Soient $K$ un sous-corps de $\mathbf{R}$, muni de $n$ structures distinctes d’extension ordonnée de $\mathbf{Q}$, toutes archimédiennes ; soient $P_i (1 \leq i \leq n)$ les ensembles d’éléments $\geq 0$ pour ces structures. Montrer qu’il existe une famille de $n$ éléments $b_i$ de $K$ ($1 \leq i \leq n$) tels que, pour tout $i$, on ait $b_i \in P_i$ et $b_i \notin P_k$ pour $k \neq i$. (Pour tout couple d’indices $i, k$ distincts, soit $a_{ik}$ tel que $a_{ik} \notin P_i$, $a_{ik} \in P_k$; considérer les éléments

où $r$ est un entier assez grand.) c) Soit $K = \mathbf{Q}(\theta)$ une extension algébrique de $\mathbf{Q}$ contenue dans $\mathbf{R}$, et soit $n$ le nombre des conjugués réels de $\theta$. Soit $C$ l’ensemble des sommes de carrés d’éléments de $K$; montrer que $C^* = C \cap K^*$ est un sous-groupe de $K^*$ et que $(K^* : C^*) = 2^n$. (Utiliser b) ainsi que le cor. 2 de VI, p. 22.) \*