Bài tập 28, § 2

a) Cho K là một trường con của R và cho 0 là một số thực, đại số trên K. Chứng minh rằng số các cấu trúc trên $\mathbf{K}(\theta)$ của một mở rộng có thứ tự của K bằng số các liên hợp thực của 0 (sử dụng Bài tập 14, a) (VI, p. 40) và 26, a)). b) Cho K là một trường con của R, được trang bị $n$ cấu trúc phân biệt của một mở rộng có thứ tự của Q, tất cả đều Archimede ; cho $P_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các tập hợp các phần tử dương theo các thứ tự này. Chứng minh rằng tồn tại một họ gồm $n$ phần tử $b_i$ của K ($1 \leq i \leq n$) sao cho $b_i \in P_i$ với mọi i và $b_i \notin P_k$ với mọi $k \neq i$. (Với mỗi cặp chỉ số phân biệt $i, k$, cho $a_{ik} \in P_k$ sao cho $a_{ik} \notin P_i$; xét các phần tử

trong đó r là một số nguyên đủ lớn.) c) Cho $K = \mathbf{Q}(\theta)$ là một mở rộng đại số của Q được chứa trong R, và cho $n$ là số các liên hợp thực của $\theta$. Cho C là tập hợp các tổng bình phương của các phần tử của K ; chứng minh rằng $C^* = C \cap K^*$ là một nhóm con của $K^*$ và rằng $(K^*:C^*) = 2^n$. (Sử dụng b) và Hệ quả 2 của VI, p. 23.) \*