Exercice 30, § 2

a) Soient $K$ un corps ordonné maximal, $m$ et $M$ deux éléments de $K$ tels que $m < M$. Montrer que tout polynôme $f \in K[X]$ qui est positif dans l’intervalle $[m, M]$, est somme de polynômes de la forme $(\alpha X + \beta) g^2$, où $g \in K[X]$ et où $\alpha X + \beta$ est positif dans $[m, M]$. (On se ramènera au cas des polynômes du premier ou du second degré, et pour ces derniers on utilisera les formules

pour $a < b$.

b) Montrer que le résultat de a) ne subsiste plus nécessairement lorsque $K$ est un corps ordonné quelconque (remarquer qu’un polynôme peut être $> 0$ dans $K$, mais non dans une extension ordonnée maximale de $K$; cf. exerc. 26, c)).