Exercice 31, § 2

a) Soit $K$ un corps tel que sa clôture algébrique $E$ soit une extension de degré premier $q$ de $K$. Montrer que $K$ est parfait (V, p. 7). b) Montrer que $q$ est distinct de la caractéristique de $K$ (V, p. 153, exerc. 9). c) Montrer que $K$ contient les racines $q$-ièmes de l’unité, et que $E$ est le corps de décomposition d’un polynôme irréductible $X^q - a$ sur $K$; en déduire que $q = 2$ (dans le cas contraire, déduire de l’exerc. 5, V, p. 153, que $X^{q^2} - a$ serait irréductible). Montrer en outre que $-a$ est un carré dans $K$ (V, loc. cit.), que $-1$ n’est pas un carré dans $K$, et que $E = K(i)$ ($i^2 = -1$). d) Supposons maintenant que $K$ soit tel que sa clôture algébrique $E$ soit de degré fini quelconque $\neq 1$ sur $K$. Montrer que $i \notin K$ et que $E = K(i)$ (si $E \neq K(i)$, montrer à l’aide de la théorie de Galois qu’il existerait un corps $F$ tel que $K(i) \subset F \subset E$, et que $E$ soit de degré premier sur $F$; appliquer alors c)). En déduire que $K$ est un corps ordonnable maximal (c.-à-d. susceptible d’une structure de corps ordonné maximal) (montrer par récurrence sur $n$ que toute somme de $n$ carrés dans $K$ est un carré dans $K$; pour prouver que $a^2 + b^2$ est un carré, considérer une racine carrée $x + iy$ de $a + ib$ dans $K(i)$).