Bài tập 31, § 2

a) Cho K là một trường mà bao đóng đại số E của nó là một mở rộng của K có bậc nguyên tố q. Hãy chứng minh rằng K là hoàn hảo (V, p. 7). b) Hãy chứng minh rằng q phân biệt với đặc số của K (V, p. 162, Ex. 9).

c) Hãy chứng minh rằng K chứa các nghiệm q-th của đơn vị, và E là trường phân rã của một đa thức bất khả quy có dạng $X^q - a$ trên K; suy ra rằng $q = 2$ (nếu không, hãy dùng Ex. 5, V, p. 161 để suy ra rằng $X^{q^2} - a$ là bất khả quy). Hãy chứng minh thêm rằng a là một bình phương trong K (V, loc. cit.), rằng $-1$ không phải là một bình phương trong K, và rằng $E = K(i)$ ($i^2 = -1$).

d) Bây giờ giả sử rằng K là một trường sao cho bao đóng đại số E của nó có bậc hữu hạn tùy ý $\neq 1$ trên K. Hãy chứng minh rằng $i \notin K$ và $E = K(i)$ (nếu $E \neq K(i)$, hãy chứng minh bằng lý thuyết Galois rằng tồn tại một trường F sao cho $K(i) \subset F \subset E$, và E có bậc nguyên tố trên F; rồi áp dụng c)). Suy ra rằng K là một trường có thứ tự cực đại (với một thứ tự thích hợp nào đó) (hãy chứng minh bằng quy nạp rằng mọi tổng của n bình phương trong K đều là một bình phương trong K; để chứng minh rằng $a^2 + b^2$ là một bình phương, hãy xét một căn bậc hai $x + iy$ của $a + ib$ trong $K(i)$).