Exercice 33, § 2

Soient $K$ un corps commutatif (de caractéristique $p$ quelconque), et $l$ un nombre premier. Soit $K'$ une extension algébrique de $K$ ayant les deux propriétés suivantes : (i) tout polynôme de $K[X]$, de degré non divisible par $l$, a une racine dans $K'$; (ii) tout polynôme de $K'[X]$, de degré égal à $l$, a une racine dans $K'$. a) Montrer que la clôture parfaite $K_1$ de $K$ est contenue dans $K'$ et satisfait à la condition analogue à (i). b) Toute extension algébrique de $K$ dont le degré n’est pas divisible par $l$ est isomorphe à une sous-extension de $K'$ (utiliser le théorème de l’élément primitif). c) Soit $L$ un sous-corps de $K'$ contenant $K$, et soit $M$ une extension galoisienne de $L$, dont le degré est une puissance de $l$. Montrer que $M$ est isomorphe à une sous-extension de $K'$ (utiliser le fait qu’un $l$-groupe est nilpotent). d) En déduire que $K'$ est une clôture algébrique de $K$ (si $F$ est une extension (séparable) de degré fini de $K$, considérer une extension galoisienne $F_1 \supseteq F$ de degré fini, et le sous-corps de $F_1$ formé des invariants d’un $l$-sous-groupe de Sylow du groupe de Galois de $F_1$ sur $K$).