Bài tập 33, § 2

Cho K là một trường giao hoán (có đặc số tùy ý q), và cho $l$ là một số nguyên tố. Cho K' là một mở rộng đại số của K có hai tính chất sau: (i) mọi đa thức trong $K[X]$ có bậc không chia hết cho $l$ đều có một nghiệm trong K'; (ii) mọi đa thức trong $K'[X]$ có bậc bằng $l$ đều có một nghiệm trong K'. a) Chứng minh rằng bao đóng hoàn hảo $K_1$ của K được chứa trong K' và thỏa mãn điều kiện tương tự như (i). b) Mọi mở rộng đại số của K có bậc không chia hết cho $l$ đều đẳng cấu với một mở rộng con của K' (sử dụng định lý phần tử nguyên thủy). c) Cho L là một trường con của K' chứa K, và cho M là một mở rộng Galois của L, có bậc là một lũy thừa của $l$. Chứng minh rằng M đẳng cấu với một mở rộng con của K' (sử dụng sự kiện rằng một nhóm I là lũy linh). d) Suy ra rằng K' là một bao đóng đại số của K (nếu F là một mở rộng (tách được) của K có bậc hữu hạn, xét một mở rộng Galois F, $\supset F$ có bậc hữu hạn, và trường con bất biến của F đối với một nhóm con Sylow I của nhóm Galois của F trên K).