Exercice 34, § 2

Soit $E$ un ensemble totalement ordonné. On appelle coupure (de Dedekind) une partition ($S, D$) de $E$ en deux parties non vides telles que $D$ soit de la forme $M(A)$, ensemble des majorants d’une partie non vide $A$ de $E$; pour que $D$ ait un plus petit élément $x$, il faut et il suffit que $D = \{ x, \rightarrow \}$, donc $S = \leftarrow, x$.

Dans un groupe commutatif totalement ordonné $G$, on dit qu’une coupure ($S, D$) est propre si, pour tout $e > 0$ dans $G$, il existe $x' \in S$ et $x'' \in D$ tels que $x'' - x' < e$. Montrer que pour que ($S, D$) soit propre, il faut et il suffit que $D$ soit symétrisable dans le monoïde $\mathscr{M}(G)$ des ensembles majeurs de $G$ (VI, p. 33, exerc. 30); pour que toute coupure soit propre, il faut et il suffit que $G$ soit archimédien (VI, p. 34, exerc. 31) et par suite \* isomorphe à un sous-groupe de $\mathbf{R}$ (VI, p. 34, exerc. 33). \*