Bài tập 34, § 2

Cho E là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần. Một lát cắt (Dedekind) là một phân hoạch (S, D) của E thành hai tập con khác rỗng sao cho D có dạng $M(A)$, tập các chặn trên của một tập con khác rỗng nào đó A của E: một điều kiện cần và đủ để D có một phần tử nhỏ nhất x là $D = (x, \to (, so S = ) \leftarrow , x($. Trong một nhóm Abel được sắp thứ tự toàn phần G, một lát cắt (S, D) được gọi là thực sự nếu với mọi $e > 0$ trong G tồn tại $x' \in S$ và $x'' \in D$ sao cho $x'' - x' < e$. Chứng minh rằng (S, D) là thực sự khi và chỉ khi D là khả nghịch trong monoïd $\mathfrak{M}(G)$ của các tập con trội của G (VI, p. 35, Ex. 30); mọi lát cắt đều thực sự khi và chỉ khi G là Archimede (VI, p. 35, Ex. 31); và do đó \* đẳng cấu với một nhóm con của R (VI, p. 36, Ex. 33). \*