Exercice 35, § 2

On dit qu’un sous-corps $K$ d’un corps ordonné $E$ est dense dans $E$ si, pour tout intervalle ouvert non vide $]a, b[$ de $E$, il existe $x \in K$ tel que $a < x < b$. Montrer alors que $E$ est comparable à $K$ (exerc. 11, a)). Si on prend $E = R(X)$, où $R$ est un corps ordonné maximal et $X$ est infiniment grand par rapport à $R$ (VI, p. 40, exerc. 24), montrer que $E$ est comparable à son sous-corps $K = R(X^2)$, mais que $K$ n’est pas dense dans $E$.

Pour que $K$ soit dense dans $E$, il faut et il suffit que pour tout $x \in E$, la partition de $K$ formée de $K \cap \leftarrow, x$ et $K \cap [x, \rightarrow$ soit une coupure propre (exerc. 34).