Exercice 36, § 2

Soit $K$ un corps ordonné, et soit $\tilde{K}$ l’ensemble des ensembles majeurs $D$ tels que la coupure ($S, D$) soit propre; montrer que $\tilde{K}$ est un corps ordonné, lorsqu’on y prend pour addition celle du monoïde $\mathscr{M}(K)$, et que l’on prend pour produit de deux éléments $D_1$ et $D_2$ de $\tilde{K}$ contenus dans $K_+$ l’ensemble $\langle D_1 D_2 \rangle$ (VI, p. 33, exerc. 30), où $D_1 D_2$ désigne l’ensemble des $x_1 x_2$ pour $x_1 \in D_1$ et $x_2 \in D_2$. Montrer que pour tout isomorphisme croissant $f$ de $K$ sur un sous-corps dense $F$ d’un corps ordonné $E$, il existe un isomorphisme croissant $g$ de $E$ dans $\tilde{K}$ tel que $g \circ f$ soit l’injection canonique de $K$ dans $\tilde{K}$.