Exercice 38, § 2

On suppose que le corps $K$ est ordonné maximal. Montrer que le corps $\tilde{K}$ est aussi ordonné maximal. (On pourra raisonner par l’absurde, en considérant une extension algébrique ordonnée $E$ de $\tilde{K}$ qui est ordonnée maximale et en supposant que $E \neq \tilde{K}$. Il existe alors parmi les éléments de $E \cap \mathbf{C} \tilde{K}$ un élément $w$ dont le polynôme minimal $f \in \tilde{K}[X]$ est de plus petit degré $n > 1$. Montrer qu’il existe un intervalle $]a, b[$ dans $E$ tel que $a \in K, b \in K$ et $a < w < b$, et un élément $e > 0$ de $E$ tel que $f'(x) > e$ pour tout $x \in [a, b]$, ou $f'(x) < -e$ pour tout $x \in [a, b]$. Montrer qu’il existe $r > 0$ dans $K$ tel que $f(a) \leq -r$ et $r \leq f(b)$, ou $f(a) \geq r$ et $f(b) \leq -r$. Approcher alors les coefficients de $f$ par des éléments de $K$, et montrer qu’on obtient ainsi un polynôme $g \in K[X]$ tel que la fonction $x \mapsto g(x)$ soit monotone dans $[a, b]$ et s’annule en un point de cet intervalle appartenant à $K$ et arbitrairement voisin de $w$.