Bài tập 38, § 2

Giả sử trường K là cực đại được sắp thứ tự. Chứng minh rằng trường $\tilde{K}$ cũng là cực đại được sắp thứ tự. (Có thể lập luận bằng phản chứng, xét một mở rộng đại số có thứ tự E của $\tilde{K}$ là cực đại được sắp thứ tự, và giả sử rằng $E \neq \tilde{K}$. Khi đó trong các phần tử của $E \cap \mathbf{C}\tilde{K}$ tồn tại một phần tử w mà đa thức tối tiểu $f \in \tilde{K}[X]$ của nó có bậc nhỏ nhất $n > 1$. Chứng minh rằng tồn tại một khoảng )a, b( trong E sao cho $a, b \in K$ và $a < w < b$, cùng một phần tử $e > 0$ của E sao cho $f'(x) > e$ với mọi $x \in (a, b)$, hoặc $f'(x) < -e$ với mọi $x \in (a, b)$. Chứng minh rằng tồn tại $r > 0$ trong K sao cho $f(a) \leq -r$ và $r \leq f(b)$, hoặc $f(a) \geq r$ và $f(b) \leq -r$. Xấp xỉ các hệ số của f bằng các phần tử của K, và chứng minh rằng bằng cách này ta thu được một đa thức $g \in K[X]$ sao cho hàm $x \mapsto g(x)$ đơn điệu trong (a, b) và triệt tiêu tại một điểm nào đó của K trong khoảng này, tùy ý gần w.)