Exercice 4, § 2

a)** Soient $K$ un corps, $P$ une partie de $K$ satisfaisant aux conditions $(AP_I), (AP_{II})$ et $(AP_{III})$ et telle que $K^2 \subset P$ ($K^2$ désignant l’ensemble des carrés des éléments de $K$) ; montrer que si $x > 0$ pour la structure d’ordre définie par $P$, on a $x^{-1} > 0$; en déduire que l’ensemble $K_+^*$ des éléments $> 0$ de $K$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif de $K$. b) Dans le corps $Q$, le seul ensemble $P$ satisfaisant aux conditions de a) est celui des nombres rationnels $\geqslant 0$ (pour l’ordre usuel). c) \* Soit $P$ une partie de $K$ satisfaisant à $(AP_I), (AP_{II}), (AP_{III})$, telle que $1 \in P$ et que, pour l’ordre défini par $P$, $x > 0$ entraîne $x^{-1} > 0$. Montrer que, pour $y$ et $z$ positifs, $y^2 \geqslant z^2$ entraîne $y \geqslant z$. En déduire que, si $y$ est un élément $> 0$ quelconque, on a

pour tout entier $n > 0$ (remarquer que l’on a $(y + y^{-1})^{2m} \geqslant \binom{2m}{m}$ pour tout entier $m > 0$). En déduire que, si la structure de groupe additif ordonné définie par $P$ sur $K$ est archimédienne (VI, p. 34, exerc. 31), on a $(y - z)^2 \geqslant 0$ pour tout couple d’éléments $y, z$ de $P$; si $K'$ est le sous-corps de $K$ engendré par $P$, on a $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x \in K'$. \* d) \* Soit $K = \mathbf{R}(X)$ le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur $\mathbf{R}$; soit $P$ l’ensemble formé de 0 et des fractions rationnelles $u \in K$ telles que, pour tout nombre réel $t$, $u(t)$ soit défini et $> 0$. Montrer que $P$ satisfait aux conditions de c) et engendre $K$, mais qu’il existe des éléments $v \in K$ tels que $v^2 \notin P$. \*