Bài tập 4, § 2

a) Cho $K$ là một trường, và $P$ là một tập con của $K$ thỏa mãn các điều kiện (AP,,), (AP,,,) và (AP,,,,), và sao cho $K^2 \subset P$ (trong đó $K^2$ ký hiệu tập hợp các bình phương của các phần tử của $K$); hãy chứng minh rằng nếu $x > 0$ theo thứ tự xác định bởi $P$, thì $x^{-1} > 0$; suy ra rằng tập hợp $K^*_+$ gồm các phần tử $> 0$ của $K$ là một nhóm con của nhóm nhân của $K$.

b) Trong trường $\mathbf{Q}$, tập hợp $P$ duy nhất thỏa mãn các điều kiện của a) là tập hợp các số hữu tỉ $\geqslant 0$ (theo thứ tự thông thường).

c) \* Cho $P$ là một tập con của $K$ thỏa mãn các điều kiện (AP,,), (AP,,,) và (AP,,,), sao cho $1 \in P$ và sao cho $x > 0$ kéo theo $x^{-1} > 0$ theo thứ tự xác định bởi $P$. Hãy chứng minh rằng $y^2 \geqslant z^2$ kéo theo $y \geqslant z$, với $y$ và $z$ dương. Suy ra rằng, với $y > 0$ tùy ý, ta có

với mọi số nguyên $n > 0$ (chú ý rằng $(y + y^{-1})^{2m} \geqslant \binom{2m}{m}$ với mọi số nguyên $m > 0$). Suy ra rằng, nếu cấu trúc nhóm cộng có thứ tự xác định bởi $P$ là Archimedean (VI, p. 35, Ex. 31), thì $(y - z)' \geqslant 0$ với mọi cặp phần tử $y, z$ của $P$; nếu $K'$ là trường con của $K$ sinh bởi $P$ thì $x^2 \geqslant 0$ với mọi $x \in K'$.

d) \* Cho $K = R(X)$ là trường các hàm hữu tỉ theo một ẩn trên $R$; cho $P$ là tập hợp gồm $0$ và các hàm hữu tỉ $u \in K$ sao cho $u(t)$ xác định và $> 0$ với mọi số thực $t$. Hãy chứng minh rằng $P$ thỏa mãn các điều kiện của c) và sinh ra $K$, nhưng tồn tại các phần tử $v \in K$ sao cho $v^2 \notin P$.