Exercice 5, § 2

Soit $A$ un anneau ordonné réticulé.** On dit qu’un idéal isolé (VI, p. 29, exerc. 4) de $A$ est irréductible s’il n’est pas intersection de deux idéaux isolés distincts de lui-même. a) Montrer que dans $A$, l’intersection des idéaux isolés irréductibles est réduite à 0 (si $a \in A$ n’est pas nul, considérer un idéal isolé maximal parmi ceux qui ne contiennent pas $a$). En déduire que $A$ est isomorphe à un sous-anneau $A'$ d’un produit $\prod_i A_i$, tel que $\mathrm{pr}_i(A') = A_i$ pour tout $i$, $A_i$ est réticulé et l’idéal $\{0\}$ est irréductible dans $A_i$ (en tant qu’idéal isolé) pour tout $i$. b) Montrer que dans $A$ les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ $|xy| = |x|.|y|$ quels que soient $x, y$; $\beta)$ $x.\sup(y, z) = \sup(xy, xz)$ quels que soient $x \geqslant 0, y$ et $z$; $\gamma)$ $x.\inf(y, z) = \inf(xy, xz)$ quels que soient $x \geqslant 0, y$ et $z$; $\delta)$ la relation $\inf(y, z) = 0$ implique $\inf(xy, z) = 0$ pour tout $x \geqslant 0$. (Pour voir que $\gamma$ implique $\delta$), observer que $xy \leqslant y$ ($\sup(x, 1)$).) Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que $A$ est fortement réticulé. c) Montrer que pour qu’un anneau $A$ soit fortement réticulé, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un sous-anneau d’un produit $\prod_i A_i$ d’anneaux totalement ordonnés. (Utilisant a), se ramener à prouver que si $\{0\}$ est irréductible dans un anneau fortement réticulé $A$, $A$ est totalement ordonné ; pour cela, noter que si $B$ est un anneau fortement réticulé, pour tout $b \in B$, l’ensemble $m$ des $x \in B$ tels que $\inf(|x|, |b|) = 0$ et l’ensemble $n$ des $y \in B$ tels qu’il existe $z \in B$ pour lequel $|y| \leqslant |zb|$, sont des idéaux isolés tels que $m \cap n = \{0\}$. d) Montrer que dans un anneau fortement réticulé $A$, la relation $\inf(x, y) = 0$ implique $xy = 0$; pour tout $z \in A$, on a $z^2 \geqslant 0$; quels que soient $x, y$ dans $A$, on a $xy \leqslant \sup(x^2, y^2)$. e) Soit $A$ un anneau réticulé sans élément nilpotent $> 0$; montrer que si la relation $\inf(x, y) = 0$ entraîne $xy = 0$, $A$ est fortement réticulé (vérifier la condition $\delta$ de b)).