Bài tập 5, § 2

Cho $A$ là một vành có dàn. Một iđêan lồi (VI, p. 30, Ex. 4) của $A$ được gọi là bất khả quy nếu nó không phải là giao của hai iđêan lồi phân biệt với nó. a) Chứng minh rằng giao của các iđêan lồi bất khả quy của $A$ là 0 (nếu $a \in A$ là khác không, xét một iđêan lồi của $A$ cực đại trong các iđêan không chứa $a$). Suy ra rằng $A$ đẳng cấu với một vành con $A'$ của một tích $\prod A_i$, sao cho mỗi $A_i$ có dàn, $\operatorname{pr}_i(A') = A_i$, với mọi $i$ và iđêan $\{0\}$ là bất khả quy trong $A$, (với tư cách là một iđêan lồi) với mọi $i$. b) Chứng minh rằng các điều kiện sau trong $A$ là tương đương: α) $|xy| = |x| \cdot |y|$ với mọi $x, y$; β) $x \cdot \sup(y, z) = \sup(xy, xz)$ với mọi $x \geqslant 0, y, z$; γ) $x \cdot \inf(y, z) = \inf(xy, xz)$ với mọi $x \geqslant 0, y, z$; δ) $\inf(y, z) = 0$ kéo theo $\inf(xy, z) = 0$ với mọi $x \geqslant 0$. (Để thấy rằng γ) suy ra δ), chú ý rằng $xy \leqslant y \cdot \sup(x, 1)$). Khi các điều kiện này được thỏa mãn, $A$ được gọi là có dàn mạnh. c) Chứng minh rằng một vành $A$ có dàn mạnh khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một vành con của một tích $\prod A_i$ của các vành được sắp thứ tự toàn phần. (Dùng a), rút gọn về việc chứng minh rằng nếu $\{0\}$ là bất khả quy trong một vành $A$ có dàn mạnh, thì $A$ được sắp thứ tự toàn phần; để làm điều này, chú ý rằng nếu $B$ là một vành có dàn mạnh thì với mọi $b \in B$, tập hợp $m$ gồm các $x \in B$ sao cho $\inf(|x|, |b|) = 0$ và tập hợp $n$ gồm các $y \in B$ sao cho $|y| \leqslant |zb|$ với một $z \in B$ nào đó là hai iđêan lồi của $B$ sao cho $m \cap n = \{0\}$. d) Chứng minh rằng trong một vành $A$ có dàn mạnh, quan hệ $\inf(x, y) = 0$ kéo theo $xy = 0$; với mọi $z \in A$ ta có $z^2 \geqslant 0$; với mọi $x, y \in A$ ta có $xy \leqslant \sup(x', y')$. e) Cho $A$ là một vành có dàn không có phần tử lũy linh $> 0$; chứng minh rằng nếu $\inf(x, y) = 0$ kéo theo $xy = 0$ thì $A$ có dàn mạnh (kiểm tra điều kiện δ) của b)).