Exercice 6, § 2

a)** Soit $K$ un corps muni d’une structure d’ordre réticulée compatible avec sa structure d’anneau. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ On a $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x \in K$. $\beta)$ La relation $x > 0$ entraîne $x^{-1} > 0$. $\gamma)$ $K$ est fortement réticulé (exerc. 5). $\delta)$ $K$ est totalement ordonné. (Pour voir que $\beta$) entraîne $\delta$), remarquer que $\beta)$ entraîne l’inégalité $xy \leqslant x^2 + y^2$ pour deux éléments $x \geqslant 0,\ y \geqslant 0$ de $K$.

b) Soit K le corps $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ obtenu en adjoignant $\sqrt{2}$ au corps des nombres rationnels ; K est identifié à $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ en tant que groupe additif, par la bijection $x + y \sqrt{2} \mapsto (x, y)$; montrer que si on transporte à K par cette bijection l’ordre produit sur $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ ($\mathbf{Q}$ étant muni de sa structure d’ordre usuelle), on obtient sur K une structure d’ordre réticulée compatible avec sa structure d’anneau, mais non fortement réticulée. c) Le corps $K = \mathbf{Q}(X)$ des fractions rationnelles à une indéterminée sur $\mathbf{Q}$ est engendré par l’ensemble $K^2$ de ses carrés. Montrer que l’ensemble P des sommes de carrés d’éléments de K définit une structure d’ordre non réticulée compatible avec la structure d’anneau de K et pour laquelle $u > 0$ entraîne $u^{-1} > 0$.