Bài tập 6, § 2

a) Cho $K$ là một trường có thứ tự dàn. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $x^2 \geqslant 0$ với mọi $x \in K$; β) $x > 0$ suy ra $x^{-1} > 0$;

γ) K là có thứ tự dàn mạnh (Bài tập 5); δ) K là được sắp thứ tự toàn phần. (Để thấy rằng β) suy ra δ), hãy chú ý rằng β suy ra xy ≤ x² + y² với x, y ∈ K). b) Cho K là trường $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ thu được bằng cách ghép thêm $\sqrt{2}$ vào trường các số hữu tỉ; như một nhóm cộng K được đồng nhất với $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ qua song ánh $x + y \sqrt{2} \mapsto (x, y)$; chứng minh rằng nếu thứ tự tích trên $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ (trong đó Q có thứ tự thông thường) được chuyển sang K qua song ánh này, thì K là có thứ tự dàn nhưng không có thứ tự dàn mạnh. c) Trường $K = \mathbf{Q}(X)$ các hàm hữu tỉ theo một bất định X trên $\mathbf{Q}$ được sinh bởi tập các bình phương của nó $K'$. Chứng minh rằng tập P các tổng các bình phương của các phần tử của K xác định một thứ tự không phải là dàn trên K tương thích với cấu trúc vành của nó, và sao cho $u > ()$ suy ra $u : > 0$.