Exercice 13, § 2

Soient A un anneau principal, $\pi$ un élément extrémal de A, M un module $\pi$-primaire sur A. Soit I l’ensemble des ordinaux $\alpha$ (E, III, p. 77, exerc. 14) tels que la puissance de l’ensemble des ordinaux $< \alpha$ soit au plus égale à celle de M. On définit par induction transfinie, pour tout $\alpha \in I$, le sous-module $M^{(\alpha)}$ de M de la façon suivante : on prend $M^{(0)} = M$; si $\alpha$ admet un antécédent $\alpha - 1$, $M^{(\alpha)} = \pi M^{(\alpha - 1)}$; dans le cas contraire, $M^{(\alpha)}$ est l’intersection des $M^{(\beta)}$ tels que $\beta < \alpha$. a) Montrer qu’il existe un plus petit ordinal $\tau \in I$ tel que $M^{(\tau + 1)} = M^{(\tau)}$ (ordinal ultime de M). Montrer que $M^{(\tau)}$ admet un supplémentaire dans M, et est somme directe de sous-modules isomorphes à $U_\pi$ (exerc. 3). On dit qu’un $\pi$-module M est réduit si $M^{(\tau)} = 0$. b) Soit M un $\pi$-module réduit. Pour tout $x \in M$, montrer qu’il existe un plus grand ordinal $\gamma(x) \leq \tau$ tel que $x \in M^{(\gamma(x))}$ (en particulier, $\gamma(0) = \tau$). Généralisant la définition de l’exerc. 8, on dit que $\gamma(x)$ est la hauteur de x dans M. Montrer que si $\gamma(x) < \gamma(y)$, on a $\gamma(x + y) = \gamma(x)$ et que, si $\gamma(x) = \gamma(y)$, on a $\gamma(x + y) \geq \gamma(x)$. On dit que x est propre par rapport à un sous-module N de M si pour tout $y \in N$, la hauteur $\gamma(x + y)$ est au plus égale à $\gamma(x)$; montrer qu’alors $\gamma(x + y) = \inf(\gamma(x), \gamma(y))$ pour tout $y \in N$.

c) Soit $\alpha$ un ordinal $< \tau$, et soit $M^{(\alpha)}$ le sous-module de $M^{(\alpha)}$ formé des $x$ tels qu’il existe $v \in M^{(\alpha+1)}$ satisfaisant à la relation $\pi x = \pi v$. Pour les $y \in M^{(\alpha+1)}$ ayant cette propriété, les éléments de la forme $u = x - y$ forment une classe mod. $M(\pi) \cap M^{(\alpha+1)}$ dans le sous-module $M(\pi) \cap M^{(\alpha)}$; si $\varphi$ est l’homomorphisme canonique de $M(\pi) \cap M^{(\alpha)}$ sur le quotient de ce module par $M(\pi) \cap M^{(\alpha+1)}$, montrer que l’application $\psi$ qui à $x$ fait correspondre $\varphi(u)$ est un homomorphisme dont le noyau est $M^{(\alpha+1)}$, et par suite que $\tilde{M}^{(\alpha)}/M^{(\alpha+1)}$ est isomorphe à $(M(\pi) \cap M^{(\alpha)})/(M(\pi) \cap M^{(\alpha+1)})$.

d) Soit $N$ un sous-module de $M$, et soit $x \in \tilde{M}^{(\alpha)}$ un élément de hauteur $\alpha$; montrer que, pour que $x$ soit propre par rapport à $N$, il faut et il suffit que les éléments $u = x - y$ de $M(\pi) \cap M^{(\alpha)}$ qui lui correspondent ($cf. c$) soient propres par rapport à $N$. Pour qu’il existe un tel élément $x$, il faut et il suffit que l’image de $N \cap \tilde{M}^{(\alpha)}$ par l’homomorphisme $\psi$ soit distincte de $(M(\pi) \cap M^{(\alpha)})/(M(\pi) \cap M^{(\alpha+1)})$.