Exercice 18, § 1

Algèbre, X, p. 170

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit M un A-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) M est de type fini (resp. de présentation finie). β) Pour tout système inductif (N_i, u_{ij}) de A-modules relatif à un ensemble préordonné filtrant I, l’homomorphisme canonique $\lim_{\longrightarrow i \in I} \mathrm{Hom}_A(M, N_i) \to \mathrm{Hom}_A(M, \lim_{\longrightarrow i \in I} N_i)$ est injectif (resp. bijectif). γ) Pour toute famille $(P_j)_{j \in J}$ de A-modules à droite, l’homomorphisme canonique

(\prod_{j \in J} P_j) \otimes_A M \to \prod_{j \in J} (P_j \otimes_A M)

(II, p. 61) est surjectif (resp. bijectif). δ) Pour tout ensemble I, l’homomorphisme canonique

A_d^1 \otimes_A M \to M^I

est surjectif (resp. bijectif).

Solution

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