Exercice 19, § 1

Soient A et B deux anneaux, $\varphi : A \to B$ un homomorphisme, M un B-module. On munit $B \otimes_A M$ et $\mathrm{Hom}_A(B, M)$ des structures de B-module à gauche déduite de la structure de B-module de B. On dit que M est projectif relativement à A, ou $\varphi$-projectif, si la surjection canonique $B \otimes_A M \to M$ admet une section B-linéaire ; on dit que M est injectif relativement à A, ou $\varphi$-injectif, si l’injection canonique

admet une rétraction B-linéaire. a) Si M est projectif (resp. injectif) en tant que A-module et $\varphi$-projectif (resp. $\varphi$-injectif) alors M est un B-module projectif (resp. injectif). b) Pour tout A-module N, le B-module $B \otimes_A N$ (resp. $\mathrm{Hom}_A(B, N)$) est $\varphi$-projectif (resp. $\varphi$-injectif). c) On suppose que $\varphi(A)$ est contenu dans le centre de B. Soit N un A-module, P un B-module $\varphi$-projectif. Montrer que le B-module $P \otimes_A N$ (resp. le B-module à droite $\mathrm{Hom}_A(P, N)$) est $\varphi$-projectif (resp. $\varphi$-injectif).