Exercice 21, § 1

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) A est noethérien. β) Tout A-module limite inductive de A-modules injectifs est injectif. γ) Tout A-module somme directe de A-modules injectifs est injectif. (Pour prouver que γ) entraîne α), soit $(a_n)_{n \geq 1}$ une suite croissante d’idéaux à gauche de A, $a = \bigcup_n a_n$, $I_n$ une enveloppe injective de $a/a_n$. L’homomorphisme naturel de a dans $\bigoplus I_n$ est la restriction d’un homomorphisme $f : A \to \bigoplus I_n$; considérer $f(1)$.)