Exercice 23, § 1

Soient I un A-module injectif, E l’anneau $\mathrm{End}_A(I)$, r l’ensemble des éléments $u$ de E tels que I soit enveloppe injective de $\mathrm{Ker}(u)$. a) Montrer que r est un idéal bilatère et que l’anneau $E/r$ est absolument plat (exercice 16). (Soit $u$ un élément de E, N un sous-module de I tel que $N \cap \mathrm{Ker}\,u = 0$ et maximal pour cette propriété ; montrer qu’il existe $v \in E$ tel que $vu(x) = x$ pour tout $x \in N$, et en déduire que $uvu - u \in r$.) b) Montrer que r est le radical de E (l’inclusion $r(E) \subset r$ résulte de a) ; montrer que pour tout $u \in r$, $1 - u$ est bijectif). c) On suppose que I est somme directe d’une famille finie d’injectifs indécomposables. Montrer que l’anneau $E/r$ est semi-simple.