Exercice 24, § 1

Soit $i : A \to I$ une enveloppe injective du A-module $A_s$. On pose $E = \mathrm{End}_A(I)$ et $B = \mathrm{End}_E(I)$, de sorte que B est le bicommunant du A-module I (VIII, § 3, déf. 1). On considère A comme un sous-anneau de B. On note $j : B \to I$ et $p : E \to I$ les applications définies par $j(b) = b(i(1))$ et $p(u) = u(i(1))$ pour $b \in B,\ u \in E$. a) Montrer que p est une surjection et j une injection.

EXERCICES

b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) L’application $p$ est bijective. β) L’application $j$ est bijective. γ) Le A-module B est injectif. Si ces conditions sont réalisées, l’application $j^{-1} \circ p$ est un isomorphisme de l’anneau E sur l’anneau opposé à B. c) Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des idéaux à gauche $a$ de A tels que $a \cap b \neq (0)$ pour tout idéal à gauche non nul $b$. On note $s(A)$ l’ensemble des éléments $a$ de A pour lesquels il existe $a \in \mathfrak{F}$ tel que $aa = 0$. Montrer que $s(A)$ est un idéal bilatère de A. d) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) $s(A) = 0$. β) L’anneau E est sans radical. γ) L’anneau B est absolument plat. Si ces conditions sont réalisées, les propriétés équivalentes de b) sont satisfaites. (Soit $s(I)$ l’ensemble des éléments $x$ de I pour lesquels il existe $a \in \mathfrak{F}$ tel que $ax = 0$. En utilisant l’exercice 23, prouver que $p^{-1}(s(I))$ est égal au radical r de E, d’où l’implication $\beta$) $\Rightarrow \alpha)$. Montrer ensuite que $\alpha)$ implique $r = \mathrm{Ker}\,(p) = 0$, ce qui entraîne $\beta)$ et $\gamma)$ (compte tenu de l’exercice 23) ainsi que la condition $\alpha)$ de b). Montrer enfin que $\gamma)$ entraîne $\alpha)$.) e) Si A est noethérien à gauche, l’idéal $s(A)$ est nilpotent (prouver d’abord que tout élément $a$ de $s(A)$ est nilpotent, en considérant les annulateurs à gauche des $a^n$; puis utiliser l’exercice 8, b) de VIII, § 9).