Exercice 25, § 1

On suppose que l’anneau A est noethérien à gauche et ne contient pas d’idéaux bilatères nilpotents. a) Démontrer que l’anneau B défini dans l’exercice 24 est semi-simple (« théorème de Goldie » ; utiliser l’exercice 23, c) et l’exercice 24, d) et e)). Si de plus (0) est un idéal bilatère premier dans A (VIII, § 8, exercice 19), montrer que B est simple. b) On identifie A à un sous-anneau de B. Démontrer les propriétés suivantes : (i) Tout élément de A simplifiable à gauche est inversible dans B (donc simplifiable dans A). (ii) Tout élément $b$ de B peut s’écrire $s^{-1} a$, avec $s \in A$, $a \in A$ et $s$ simplifiable, On dit parfois que B est l’anneau total des fractions à gauche de A. (Pour prouver (ii), se ramener au cas où B est simple, Montrer qu’alors l’idéal (0) de A est premier, Soit $a$ un idéal de $\mathfrak{F}$, $a$ un élément de $a$ pour lequel l’idéal à droite $aB$ est maximal parmi les idéaux $a'$ B ($a' \in a$), $x$ un élément de B tel que $axa = a$. Prouver que $B(1 - xa) \subset aB$, d’où

en déduire que $a$ est simplifiable. Conclure en prenant pour $a$ l’ensemble des $a \in A$ tels que $ab \in A$.) c) On suppose que tout élément non nul de A est simplifiable. Montrer que B est un corps, qui est un corps des fractions à gauche pour A (cf. I, p. 155, exercice 15).