Exercice 26, § 1

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) L’anneau A est noethérien à droite, et le A-module $A_s$ est injectif. $\alpha^0$ A est noethérien à gauche et le A-module $A_d$ est injectif, β) L’anneau A est auto-injectif (VIII, § 2, exercice 11). (Prouver que $\alpha$ entraîne que tout idéal à droite r vérifie $r = r^0$. Montrer alors que $r(A)$ est nilpotent, et en déduire que A est artinien à droite en utilisant l’exercice 23. Démontrer ensuite que le dual d’un A-module à gauche simple est simple. En déduire que A est noethérien à gauche et finalement auto-injectif. b) Montrer que l’anneau A est auto-injectif si et seulement si tout A-module injectif est projectif et tout A-module projectif est injectif.