Exercice 27, § 1

On suppose l’anneau A noethérien à gauche. a) Soit I un A-module injectif indécomposable. Montrer que l’ensemble des idéaux annulateurs d’un sous-module non nul de I admet un plus grand élément $\mathscr{U}(I)$, qui est un idéal bilatère premier (VIII, § 8, exercice 19). b) Montrer que pour tout idéal bilatère premier $p$ de A, il existe un A-module injectif indécomposable I tel que $\mathscr{U}(I) = p$ (considérer un facteur direct indécomposable de l’enveloppe injective de $A/p$). c) On suppose A commutatif. Montrer que tout A-module injectif indécomposable I est enveloppe injective de $A/\mathscr{U}(I)$. En déduire que l’application $I \mapsto \mathscr{U}(I)$ définit une bijection de l’ensemble $\mathscr{J}$ des classes de A-modules injectifs indécomposables sur l’ensemble des idéaux premiers de A. La bijection inverse associe à l’idéal $p$ l’enveloppe injective de $A/p$. d) Montrer que pour que l’application $I \mapsto \mathscr{U}(I)$ de $\mathscr{J}$ sur l’ensemble des idéaux bilatères premiers de A soit bijective, il suffit que A vérifie la condition (H) suivante :

(H) Pour tout idéal à gauche $a$ de $A$, il existe des éléments $x_1, \ldots, x_k$ de $A/a$ tels que

e) Montrer que la condition (H) est vérifiée dans les cas suivants : $\alpha$ Tous les idéaux à gauche de $A$ sont bilatères, $\beta$ $A$ est artinien. $\gamma$ Le centre $Z$ de $A$ est un anneau noethérien et $A$ est un $Z$-module de type fini. f) Soient $k$ un corps, $\mathbf{Q}^+$ le monoïde additif des nombres rationnels $\geqslant 0$, $A$ l’algèbre $k^{(\mathbf{Q}^+)}$, $a$ un élément non nul de $A$, $I$ l’enveloppe injective de $A/Aa$. Montrer que le $A$-module $I$ est indécomposable, mais ne contient pas de sous-module isomorphe à $A/p$ pour $p$ premier (remarquer que l’ensemble des idéaux de $A$ est totalement ordonné et que $A$ ne contient que deux idéaux premiers).