Exercice 28, § 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module, $I$ une enveloppe injective de $M$, somme directe d’une famille $(I_\alpha)_{\alpha \in J}$ de sous-modules indécomposables. On note $\operatorname{Ass}(M)$ l’ensemble des idéaux bilatères premiers $\mathfrak{U}(I_\alpha)$, pour $\alpha \in J$ (exercice 27) ; si $p \in \operatorname{Ass}(M)$, on dit que $p$ est associé à $M$. a) On a $\operatorname{Ass}(M) \neq \varnothing$ si $M \neq 0$; si $M$ est de type fini, l’ensemble $\operatorname{Ass}(M)$ est fini. b) Montrer qu’un idéal bilatère premier $p$ est associé à $M$ si et seulement si $M$ contient un sous-module $N$ tel que $\operatorname{Ann}(N') = p$ pour tout sous-module non nul $N'$ de $N$. Si $A$ est commutatif, $p$ est associé à $M$ si et seulement si $M$ contient un sous-module isomorphe à $A/p$, c) Soit $M'$ un sous-module de $M$, Montrer qu’on a

d) On pose $J_p = \sum_{\mathfrak{U}(I_\alpha) = p} I_\alpha$ et $Q(p) = \left( \sum_{q \neq p} J_q \right) \cap M$. Montrer qu’on a $\bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q(p) = 0$ et $\bigcap_{p \in E} Q(p) \neq 0$ pour tout sous-ensemble $E$ de $\operatorname{Ass}(M)$ distinct de $\operatorname{Ass}(M)$. Pour tout $p \in \operatorname{Ass}(M)$, on a $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{ p \}$. e) Soit $a$ un élément du centre de $A$. Montrer que pour que l’homothétie de rapport $a$ soit injective dans $M$, il faut et il suffit que $a$ n’appartienne à aucun des idéaux premiers associés à $M$.