Exercice 29, § 1

On suppose que l’anneau $A$ est commutatif et noethérien. Soit $a$ un idéal de $A$. a) Soit $H$ un $A$-module tel que tout élément de $H$ soit annulé par une puissance de $a$. Montrer que pour que $H$ soit injectif, il suffit que pour tout entier $n \geqslant 1$, tout $A$-module $M$ de type fini annulé par $a^n$ et tout sous-module $M'$ de $M$, l’homomorphisme naturel $\operatorname{Hom}_A(M, H) \to \operatorname{Hom}_A(M', H)$ soit surjectif. (Utiliser le fait que pour tout idéal $b$ de $A$, il existe un entier $k \geqslant 0$ tel que $b \cap a^k \subset ba$ (AC, III, § 3, no 1, cor. 2).) b) Soit $M$ un $A$-module injectif. Pour $n \geqslant 1$, on note $H_n$ le sous-module de $M$ formé des éléments annulés par $a^n$; on pose $H = \bigcup_n H_n$. Montrer que $H$ est un $A$-module injectif. c) Montrer que pour tout élément de l’enveloppe injective de $A/a$ est annulé par une puissance de $a$,