Exercice 30, § 1

On suppose l’anneau $A$ local, commutatif et noethérien ; on note $m$ son idéal maximal, $k = A/m$. Soit $I$ un $A$-module tel que tout élément de $I$ soit annulé par une puissance de $m$. Pour tout $A$-module $M$, on note $T(M)$ le $A$-module $\operatorname{Hom}_A(M, I)$ et $c_M : M \to T(T(M))$ l’homomorphisme défini par

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : $\alpha$ Pour tout $A$-module de longueur finie $M$, le $A$-module $T(M)$ est de longueur finie et l’homomorphisme $c_M : M \to T(T(M))$ est bijectif. $\beta$ Pour tout $A$-module de longueur finie $M$, on a $\operatorname{long} T(M) = \operatorname{long} M$. $\gamma$ Le $A$-module $I$ est injectif et les $A$-modules $k$ et $T(k)$ sont isomorphes. $\delta$ Le $A$-module $I$ est isomorphe à l’enveloppe injective de $k$. Lorsque ces conditions sont vérifiées, on dit parfois que $I$ est un module dualisant pour l’anneau $A$. (Montrer que la propriété $\gamma$ est équivalente à chacune des trois autres : pour voir que $\alpha$ ou $\beta$ entraîne $\gamma$, utiliser l’exercice 29.)