Exercice 32, § 1

a) On garde les hypothèses de l’exercice 30 ; on suppose de plus que A contient un corps $k_0$ tel que $k$ soit un $k_0$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que le A-module $I = \lim_{\longrightarrow n} \mathrm{Hom}_{k_0}(A/m^n, k_0)$ est dualisant pour A. b) Soient $k$ un corps de caractéristique zéro, B l’anneau de séries formelles $k[[T_1, ..., T_n]]$. On munit le groupe $I = k[X_1, ..., X_n]$ d’une structure de B-module en posant $T_i . P = \partial P / \partial X_i$ pour tout $P \in k[X_1, ..., X_n]$. Montrer que I est une enveloppe injective de $k$.