Exercice 14, § 2

On appelle suite spectrale de $A$-modules la donnée d’une suite de $A$-complexes $(E_r, d_r)_{r \geq 2}$ et d’applications $\alpha_r : H(E_r) \to E_{r+1}$, telle que :

(i) La graduation du complexe $E_r$ est la graduation totale associée à une bigraduation

on a $d_r(E_r^{pq}) \subset E_r^{p+r, q-r+1}$.

(ii) Les applications $\alpha_r$ sont des isomorphismes de $A$-modules bigradués. On utilisera également la bigraduation descendante de $E_r$; on notera $E_r^{pq} = E_r^{-p, -q}$.

a) On notera ici $Z_{r+1}(E_r)$ (resp. $B_{r+1}(E_r)$) le $A$-module bigradué $\mathrm{Ker}\ d_r$ (resp. $\mathrm{Im}\ d_r$). Soit

l’application de passage au quotient et $i_r : E_{r+1} \to E_r / B_{r+1}(E_r)$ l’application composée de $\alpha_r^{-1}$ et de l’injection naturelle. Pour tout $r \geq 2$, on définit par récurrence sur $k$ les sous-modules bigradués $Z_{r+k}(E_r)$ et $B_{r+k}(E_r)$ de $E_r$ en posant : Démontrer que l’on a des inclusions : et que $E_k$ est isomorphe à $Z_k(E_r)/B_k(E_r)$ pour $k \geq r+1$.

On pose $Z_\infty(E_2) = \bigcap_{r \geq 3} Z_r(E_2)$, $B_\infty(E_2) = \bigcup_{r \geq 3} B_r(E_2)$ et $E_\infty = Z_\infty(E_2)/B_\infty(E_2)$. On dit que la suite spectrale est régulière si la suite décroissante $(Z_r(E_2^{pq}))_{r \geq 2}$ est stationnaire pour tout couple $(p, q)$.

b) Soient $E = (E_r, d_r, \alpha_r)_{r \geq 2}$ et $E' = (E'_r, d'_r, \alpha'_r)_{r \geq 2}$ deux suites spectrales de $A$-modules ; on appelle morphisme de $E$ dans $E'$ une suite de morphismes de $A$-complexes $u_r : E_r \to E'_r$, compatibles aux bigraduations, tels que $\alpha'_r \circ H(u_r) = u_{r+1} \circ \alpha_r$ pour tout $r \geq 2$. Montrer que pour tout $r \geq 2$ et tout $k \geq r+1$, $u_r$ induit un homomorphisme de $Z_k(E_r)$ (resp. $B_k(E_r)$) dans $Z_k(E'_r)$ (resp. $B_k(E'_r)$). En particulier, $u_2$ induit des homomorphismes $Z_\infty(u_2) : Z_\infty(E_2) \to Z_\infty(E'_2)$, $B_\infty(u_2) : B_\infty(E_2) \to B_\infty(E'_2)$ et $u_\infty : E_\infty \to E'_\infty$; tous ces homomorphismes sont compatibles aux bigraduations.

c) On suppose que $u_2$ est un isomorphisme. Montrer qu’alors $u_r$ est un isomorphisme pour tout $r \geq 2$, ainsi que $B_\infty(u_2)$. Si de plus les suites $E$ et $E'$ sont régulières, $Z_\infty(u_2)$ et $u_\infty$ sont des isomorphismes.

d) Soit $G = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} G^n$ un $A$-module gradué, muni d’une suite décroissante $(F^p G)_{p \in \mathbf{Z}}$ de sous-$A$-modules gradués, telle que $\bigcap_p F^p G = 0$ et $\bigcup_p F^p G = G$. On dit que la suite spectrale $E$ approche $(G, (F^p G)_{p \in \mathbf{Z}})$ (ou simplement $G$) s’il existe des isomorphismes $\beta^{pq} : E_\infty^{pq} \to (F^p G)^{p+q}/(F^{p+1} G)^{p+q}$ pour tout

On dit que la suite spectrale E converge vers G si elle approche G et si de plus : (i) La suite spectrale E est régulière ; (ii) Pour tout entier n, il existe un entier p tel que $(F^p G)^n = 0$.

Supposons que E (resp. E') converge vers G (resp. G'). Soient $u : E \to E'$ un morphisme de suites spectrales, $v : G \to G'$ un homomorphisme gradué de degré 0, tel que $v(F^p G) \subset F^p G'$ pour tout p et que les homomorphismes induits $\bar{v}^{p,n} : (F^p G)^n/(F^{p+1} G)^n \to (F^p G')^n/(F^{p+1} G')^n$ vérifient $\bar{v}^{p,p+q} \circ \beta^{p,q} = {\beta'}^{p,q} \circ u_{\infty}^{p,q}$ pour tout couple $(p, q)$. Montrer que si $u_2^{pq}$ est un isomorphisme pour tout couple $(p, q)$, alors $v$ est un isomorphisme.