Exercice 19, § 2

On appelle schéma simplicial un couple $(K,\mathscr F)$, où $K$ est un ensemble et $\mathscr F$ un ensemble de parties finies de $K$, appelées faces de $K$, tel que tout sous-ensemble d’une face soit une face et que tout point de $K$ appartienne à au moins une face. Une application simpliciale d’un schéma simplicial $(K,\mathscr F)$ dans un schéma simplicial $(L,\mathscr G)$ est une application de $K$ dans $L$ qui transforme toute face de $K$ en une face de $L$.

a) Soit $n$ un entier $\geq0$. On appelle $n$-simplexe du schéma simplicial $K$ toute suite $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ d’éléments de $K$ telle que les $\alpha_i$ appartiennent à une même face de $K$. On note $S_n(K,A)$ le $A$-module libre engendré par les $n$-simplexes pour $n\geq0$, et on pose $S_n(K,A)=0$ pour $n<0$. On définit un $A$-homomorphisme

en posant $d_n=0$ pour $n\leq0$ et

pour tout $n$-simplexe $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ (le signe $\widehat{\ }$ sur une lettre signifie qu’elle doit être omise). Montrer que $d_{n-1}\circ d_n=0$ pour tout $n$, de sorte que $(S(K,A),d)$ est un complexe de $A$-modules. On définit de même un $A$-complexe $C(K,A)$ en posant $C^n(K,A)=\operatorname{Hom}_A(S_n(K,\mathbf Z),A)$, $\delta^n=\operatorname{Hom}(d_{n+1},1_A)$ pour tout $n$. Pour $n\geq0$, on note parfois $H_n(K,A)$ (resp. $H^n(K,A)$) le $A$-module $H_n(S(K,A))$ (resp. $H^n(C(K,A))$).

b) Soit $K,L$ deux schémas simpliciaux, $f:K\rightarrow L$ une application simpliciale. Montrer que $f$ induit des morphismes de complexes $S(f):S(K,A)\rightarrow S(L,A)$ et $C(f):C(L,A)\rightarrow C(K,A)$, d’où des $A$-homomorphismes $f_*:H(K,A)\rightarrow H(L,A)$ et $f^*:H(L,A)\rightarrow H(K,A)$.

c) Soit $g:K\rightarrow L$ une seconde application simpliciale. On dit que $f$ et $g$ sont simplicialement homotopes si pour toute face $\sigma$ de $K$, l’ensemble $f(\sigma)\cup g(\sigma)$ est une face de $L$. Montrer que les morphismes $S(f)$ et $S(g)$ (resp. $C(f)$ et $C(g)$) sont alors homotopes (définir une homotopie $h$ en posant

pour tout $n$-simplexe $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$).

d) On dit que le schéma simplicial $K$ est conique s’il existe un point $s$ de $K$ tel que pour toute face $\sigma$ de $K$, $\sigma\cup\{s\}$ soit une face. Montrer qu’il existe alors des homotopismes de $S(K,A)$ et de $C(K,A)$ sur $A$.

e) On note $D(K,A)$ le sous-complexe de $S(K,A)$ engendré par les simplexes $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ pour lesquels deux des $\alpha_i$ sont égaux, et par les éléments de la forme

pour tout $n$-simplexe $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ et toute permutation $\sigma$ de $\{0,\ldots,n\}$. Montrer que $D(K,A)$ est un sous-complexe de $S(K,A)$, et que l’application de passage au quotient

est un homotopisme (un homotopisme réciproque s’obtient en choisissant un ordre total sur $K$ et en associant à la classe modulo $D(K,A)$ d’un simplexe $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)$ le simplexe

où $\sigma$ est la permutation telle que $\alpha_{\sigma(0)}<\cdots<\alpha_{\sigma(n)}$ si tous les $\alpha_i$ sont différents, et $0$ dans le cas contraire).