Exercice 20, § 2

Soit $R$ un anneau de valuation discrète (AC, VI, § 3, no 6) complet, à corps résiduel $k$ de caractéristique $p>0$. On suppose que le corps des fractions de $R$ est de caractéristique $0$. On note $v$ la valuation normée de $\mathbf{R}$, $\mathfrak m$ l’idéal maximal de $\mathbf{R}$ et $\mathbf{R}^*$ le groupe multiplicatif des unités de $\mathbf{R}$. Pour tout entier $n\geq 0$, soit $\mathbf{R}^*(n)$ le sous-groupe de $\mathbf{R}^*$ formé des éléments $x$ tels que $v(x-1)\geq n$.

a) Soit $r$ un entier, $r>v(p)/(p-1)$. Montrer que la série

converge pour $x\in\mathfrak m^r$ et définit un isomorphisme du groupe additif $\mathfrak m^r$ sur le groupe $\mathbf{R}^*(r)$.

b) On suppose que $k$ est un corps fini à $q$ éléments. Soient $n$ un entier $\geq 1$, $\mu_n$ le sous-groupe des éléments $x$ de $\mathbf{R}^*$ tels que $x^n=1$. Montrer que les groupes $\mu_n$ et $\mathbf{R}^*/(\mathbf{R}^*)^n$ sont finis et que l’on a

(Soient $\mathscr C$ l’ensemble des classes de $\mathbf{Z}$-modules finis, $\varphi:K(\mathscr C)\to\mathbf{Q}^*$ l’homomorphisme défini par

$\mathscr C^{(r)}$ le complexe de $\mathbf{Z}$-modules tel que $C_p^{(r)}=0$ pour $p\neq0,1$, $C_0^{(r)}=C_1^{(r)}=\mathbf{R}^*(r)$, $d_1(x)=x^n$ pour $x\in\mathbf{R}^*(r)$. Démontrer que $\varphi(H(\mathscr C^{(r)}))$ est indépendant de $r$, puis utiliser a.).)*