Exercice 21, § 2

On suppose que l’anneau A est une algèbre commutative sur un anneau commutatif $k$ ; le A-module $D_k(A)$ des $k$-dérivations de A s’identifie alors au dual du A-module $\Omega^1_{A/k}$, ce qui définit sur $\Omega_{A/k}$ une structure de $\Lambda_A(D_k(A))$-module à gauche (cf. III, p. 165). Démontrer la formule

où $\omega\in\Omega^p_{A/k}$, $X_0,\ldots,X_p\in D_k(A)$, et où le signe $\widehat{\ }$ sur une lettre signifie qu’elle doit être omise. (Se ramener au cas $p=1$.)