Exercice 22, § 2

On garde les conventions de l’exercice précédent ; si M est un A-module, $\nabla$ une connexion sur M et si $X\in D_k(A)$, on note $\nabla_X$ le $k$-endomorphisme $(1_M\otimes X)\circ\nabla$ de M.

a) Soient $M_1,M_2$ deux A-modules, munis de connexions ${}^1\nabla,{}^2\nabla$ ; montrer qu’on définit une connexion $\nabla$ sur $M_1\oplus M_2$ (resp. $M_1\otimes_A M_2$, resp. $\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$) en posant $\nabla(m_1+m_2)={}^1\nabla(m_1)+{}^2\nabla(m_2)$ pour $m_1\in M_1$, $m_2\in M_2$ (resp. $\nabla_X(m_1\otimes m_2)={}^1\nabla_X(m_1)\otimes m_2+m_1\otimes{}^2\nabla_X(m_2)$ pour $X\in D_k(A)$, $m_1\in M_1$ et $m_2\in M_2$, resp. $\nabla_X(u)={}^2\nabla_X\circ u-u\circ{}^1\nabla_X$ pour $X\in D_k(A)$, $u\in\operatorname{Hom}_A(M_1,M_2)$.

b) Soit M un A-module, $\nabla:M\to M\otimes_A\Omega^1_{A/k}$ une connexion sur M. Si $X,Y\in D_k(A)$, on note $R(X,Y)$ le A-endomorphisme de M tel que $R(X,Y)(m)=\langle R(m),X\wedge Y\rangle$ pour tout $m\in M$. Démontrer la formule : $R(X,Y)=[\nabla_X,\nabla_Y]-\nabla_{[X,Y]}$ (utiliser l’exercice 21).

c) On suppose le A-module M projectif, de sorte que l’homomorphisme de courbure R s’identifie à un élément de $\operatorname{End}_A(M)\otimes_A\Omega^2_{A/k}$. Si l’on munit $\operatorname{End}_A(M)$ de la connexion $\nabla$ définie en a), montrer que l’on a $\nabla^2R=0$.