Exercice 19, § 6

Soient p un nombre premier, G un p-groupe, M un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module. On pose $A = F_p^{(G)}$. a) On suppose que $pM = 0$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Il existe un entier rationnel q tel que $\hat{H}^q(G, M) = 0$.

EXERCICES

β) M est cohomologiquement trivial (exercice 18). γ) M est un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module induit. δ) Le A-module M est libre. (Pour prouver que α) entraîne δ), se ramener au cas où $q = -2$; montrer que l’on a alors

et conclure avec l’exercice 4, p. 185 et l’exercice 22 de VIII, § 8). b) On suppose que la multiplication par p est injective dans M. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Il existe un entier q tel que les groupes $\hat{H}^q(G, M)$ et $\hat{H}^{q+1}(G, M)$ soient nuls. β) M est cohomologiquement trivial. γ) Le A-module $M/pM$ est libre.