Exercice 20, § 6

Soient G un groupe fini, M un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module. a) On suppose que le Z-module M est libre. Montrer que le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M est projectif si et seulement si pour tout sous-groupe de Sylow H $\subset G$, le $\mathbf{Z}^{(H)}$-module M est cohomologiquement trivial. (Pour prouver que la condition est suffisante, considérer une résolution $0 \to R \to L \to M \to 0$ du $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M, où L est libre ; montrer que le $\mathbf{Z}^{(H)}$-module Q = Hom$_\mathbf{Z}$(M, N) est cohomologiquement trivial en observant que Q/pQ est cohomologiquement trivial et en utilisant l’exercice 19. Déduire de l’exercice 17, e) que l’on a $H^1(G, Q) = 0$, et en conclure que M est projectif.) b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M est cohomologiquement trivial. β) Le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M admet une résolution projective finie. γ) Le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M admet une résolution projective de longueur un. (Pour montrer que α) entraîne γ), considérer une suite exacte $0 \to R \to L \to M \to 0$, où L est un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module libre, et appliquer a) à R.) c) On suppose que le Z-module M est divisible. Montrer que le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M est cohomologiquement trivial si et seulement si il est injectif (considérer une suite exacte $0 \to M \to I \to Q \to 0$, où I est un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module injectif, et montrer en utilisant b) que le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module Hom$_\mathbf{Z}$(Q, M) est cohomologiquement trivial). d) Pour qu’un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module soit cohomologiquement trivial, il faut et il suffit qu’il admette une résolution injective de longueur 1.