Exercice 21, § 6

Soit G un groupe cyclique d’ordre fini. a) Si M est un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module et q un entier rationnel pair (resp. impair), le groupe $\hat{H}^q(G, M)$ est isomorphe à $\hat{H}^0(G, M)$ (resp. $\hat{H}^1(G, M)$) (cf. exercice 7). b) On note $\mathscr{C}$ l’ensemble des classes de $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules de type fini T tels que les groupes $\hat{H}^q(G, T)$ soient finis pour tout $q \in \mathbf{Z}$; si le $\mathbf{Z}^{(G)}$-module M est de type $\mathscr{C}$, on pose

Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules. Montrer que si deux des modules M’, M, M” sont de type $\mathscr{C}$, il en est de même du troisième, et qu’on a alors $h(M) = h(M')\ h(M'')$. En particulier, la fonction h définit un homomorphisme du groupe de Grothendieck K($\mathscr{C}$) dans le groupe multiplicatif $\mathbf{Q}^*$. c) Soit M un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module fini. Montrer que M est de type $\mathscr{C}$ et que l’on a $h(M) = 1$. d) On suppose que l’ordre de G est un nombre premier p. On note $\mathscr{C}'$ l’ensemble des classes des $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules de type fini dans lesquels la multiplication par p a un noyau et un conoyau fini ; si M est de type $\mathscr{C}'$, on pose $\varphi(M) = \operatorname{Card}(\operatorname{Coker} p_M)/\operatorname{Card}(\operatorname{Ker} p_M)$. Démontrer comme en b) que $\varphi$ définit un homomorphisme de K($\mathscr{C}'$) dans $\mathbf{Q}^*$. e) Montrer que K($\mathscr{C}'$) est engendré par les classes des $\mathbf{Z}^{(G)}$-modules T possédant une des propriétés suivantes : (i) T est fini. (ii) La multiplication par p dans T est bijective. (iii) $T = \mathbf{Z}$ muni de l’action triviale de G. (iv) $T = \mathbf{Z}^{(G)}$. (v) $T = \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p$ (cf. TG, III, p. 84, exercice 23), muni de l’action triviale de G. (vi) $T = \mathbf{Z}^{(G)} \otimes_\mathbf{Z} (\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$. (Montrer d’abord que tout $\mathbf{Z}^{(G)}$-module de type $\mathscr{C}'$ s’écrit dans K($\mathscr{C}'$) comme somme d’un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module de type fini sur $\mathbf{Z}$ et d’un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module dans lequel la multiplication par p est surjective. Déterminer ensuite la structure des modules simples sur les anneaux $\mathbf{Q}^{(G)}$ et $\mathbf{Q}_p^{(G)}$.)

g) Déduire de ce qui précède que l’on a $\mathscr{C}' \subset \mathscr{C}$ et que si M est un $\mathbf{Z}^{(G)}$-module de type $\mathscr{C}'$, on a

(Vérifier la formule dans les six cas considérés en f).)