Exercice 22, § 6

Soient K un corps commutatif, L une extension galoisienne finie de K, G son groupe de Galois. a) Montrer que la suite exacte de G-modules

permet de définir un isomorphisme $k_L : (L^n \cap K^*)/K^{*n} \to H^1(G, \mu_n(L))$. Lorsque $\mu_n(K)$ a n éléments et que l’on identifie $H^1(G, \mu_n(L))$ à Hom $(G, \mu_n(K))$, montrer que $k_L$ coïncide avec l’homomorphisme défini en V, § 11, no 8. b) Soit p un nombre premier ; on suppose que K est de caractéristique p. Montrer que la suite exacte de G-modules (V, § 11, no 9) permet de définir un isomorphisme $a_L : (p(L) \cap K)/p(K) \to H^1(G, F_p)$ qui coïncide avec l’homomorphisme défini dans loc. cit. si l’on identifie $H^1(G, F_p)$ à Hom $(G, F_p)$.