Exercice 23, § 6

Soient G un groupe, M un groupe à opérateurs dans G (I, p. 29, déf. 2). On notera $^g m$ le composé de $g \in G$ et $m \in M$. On dira que M est un G-groupe si on a $^h(^g m) = ^{hg} m$ pour $m \in M, g, h \in G$, autrement dit si l’application $\varphi$ de G dans Aut (M) telle que $\varphi(g).m = ^g m$ pour $g \in G, m \in M$ est un homomorphisme. Si M est un G-groupe, on note $H^0(G, M)$ le sous-groupe de M formé des éléments $m \in M$ tels que $^g m = m$ pour tout $g \in G$, et $Z^1(G, M)$ l’ensemble des applications $h$ de G dans M telles que

a) On dit que deux éléments $h_1, h_2$ de $Z^1(G, M)$ sont cohomologues s’il existe un élément $m$ de M tel que $h_2(g) = m^{-1}\ h_1(g)\ ^g m$ pour tout $g \in G$. Montrer que la relation ainsi définie est une relation d’équivalence sur $Z^1(G, M)$; l’ensemble quotient est noté $H^1(G, M)$. La classe dans $H^1(G, M)$ de l’application $i \in Z^1(G, M)$ telle que $i(g) = 1_M$ pour tout $g \in G$ est notée $e_{G, M}$ ou simplement $e_M$. b) Soit $f : M \to N$ un homomorphisme de G-groupes (I, p. 30, déf. 3); montrer que $f$ induit un homomorphisme de groupes $f^0 : H^0(G, M) \to H^0(G, N)$, et une application $f^1 : H^1(G, M) \to H^1(G, N)$ telle que $f^1(e_M) = e_N$. c) Soit $M \xrightarrow{i} N \xrightarrow{p} Q$ une suite de G-groupes et d’homomorphismes, avec $i$ injectif, $p$ surjectif et Montrer que le groupe $N' = p^{-1}(H^0(G, Q))$ agit sur $Z^1(G, M)$ de façon que $(n.h)(g) = n^{-1}\ h(g)\ ^gn$ pour $n \in N', h \in Z^1(G, M), g \in G$; montrer que cette action définit par passage au quotient une action de $H^0(G, Q)$ sur $H^1(G, M)$. L’application $i^1 : H^1(G, M) \to H^1(G, N)$ passe au quotient et définit une bijection de $H^1(G, M)/H^0(G, Q)$ sur $\operatorname{Im}(i^1)$. d) L’action de $H^0(G, Q)$ sur $H^1(G, M)$ permet de définir une application $\partial : H^0(G, Q) \to H^1(G, M)$ par $\partial(q) = q.e_M$ pour $q \in H^0(G, Q)$. Montrer que l’on a e) On suppose désormais que $i(M)$ est contenu dans le centre de N. Montrer que $\partial$ est un homomorphisme de groupes ; construire une action du groupe $H^1(G, M)$ sur l’ensemble $H^1(G, N)$ de telle sorte que l’application $p^1$ passe au quotient et définisse une bijection de $H^1(G, N)/H^1(G, M)$ sur $\operatorname{Im}(p^1)$. f) Soit E l’ensemble des applications $k$ de G dans N telles que $p \circ k \in Z^1(G, Q)$. Pour $k \in E$, montrer qu’il existe un élément $f_k$ de $Z^2(G, M)$ tel que $i(f_k(x, y)) = k(x)\ ^xk(y)\ (k(xy))^{-1}$ pour $x, y \in G$. Montrer que l’application $k \mapsto f_k$ définit par passage au quotient une application $\partial^1 : H^1(G, Q) \to H^2(G, M)$. Démontrer que l’on a $\operatorname{Im}(p^1) = (\partial^1)^{-1}(0)$.